Integraalid

Füüsikas on paljud valemid integraalidega leitavad ning seda eriti sujuvalt muutuvaid sündmuseid kirjeldavates valemites.
Pisihoiatuseks kukkusin integraalide teema ülikoolis 3 aasta järjest läbi ja sellest kujunes kerge õpitud suutmatustunne seda mõista kuigi nüüd oli see arusaadavam ning oli eelnevalt tekkinud vajadus sellest aru saada.
Sujuvalt muutuvate väärtuste korral tähistatakse integraalidega kõigi nende muutuvate väärtuste summat kõvera alla jääva pindalana.
Muutuse sümbol on kolmnurk, mis lisatakse vastava muutuva väärtuse ette.

Näiteks kiiruse v puhul saab muutuse sümboleid selliselt kasutada. Läbitud distantsi rollis on x ja aeg on t. Kiirus on leitav muutuse distantsis jagamisega muutusega ajas. Sellise väljenduse korral saab seda kiirusevalemit kasutada erinevate kiiruste skaalade juures. Näiteks kui muutuv aeg on sekundites saab kiirust väljendada vahemaad sekundi kohta kuid kui aeg oli tundides või aastates, siis saab ka neid ajaühikuid kasutada.

suurim x väärtus on xm ja teljealust pindala täitev ristküliku kujuliste tulpade arv N. Integraali korral on N arv lõputult suureks aetud. Integraali sümboli alla pandakse vahel integraali alguskoht x teljel ja üles selle lõpp x teljel kuid neid vahemikke ei lisata alati.




Ülal kolmnurkse pindala andnud seos on illustreeritud ülal viimase valemiga.
Näide ülemise valemi kasutamisest pindala leidmisest:

Vaja on leida selle ala pindala.


Graafiku valemis suurendatakse sarnaselt eelmisele näitele iga x astet 1 võrra ja jagatakse x astmega läbi selle astme väärtusega. Seejärel leitakse valemi väärtus suurimat x väärtust kasutades.
Täpse nullist erineva algus ja lõppkohaga integraali korral on pindala valem veidi teistsugune ja lisandub lõppväärtusest algväärtuse lahutamine. Säilib astme suurendamine ja jagamine astme suurusega.
x'ga jagamise korral tuleb x väärtust leida naturaallogaritmiga.


Näiteid integraalide kasutusaladest:
Gravitatsiooni potentsiaalse energia valem. Alguskohaks on lõputus väikseima energiaga ja lähimaks kohaks mingi kaugus planeedist. Gravitatsioonijõu valem on integraali all peaaegu samasugune nagu tavaliselt ning sellega läbikorrutamiseks lisati muutus raadiuses.

Kiirus v ja kiirendus a integraalides. Distants on siin r ja t on aeg.


Kondensaatori laadimine on ebaühtlase kiirusega protsess, mida väljendatakse ka integraalina. Kondensaatori mahtuvus C võrdub Q/V. Q on laengute suhe kondensaatori plaatide vahel ja V pinge erinevus nende vahel. Q on maksimaalne kondensaatori täis laadimise ajal nagu ka pinged. Väike q tähistab pisimuutust laengute hulgas. Kogutud energia hulk on U, mis on siin integraali pindala kohas. Pinge on proportsionaalne kogunenud laengu hulgaga, mistõttu selle hulk on graafiku kõrguseks.



Joonintegraale kasutatakse tihti magnetväljade ja elektriväljade kirjeldamiseks. Nende puhul korrutatakse erinevaid vektoreid. Näiteks esimene vektor näitab elektri või magnetvälja tugevust ja suunda (ülal E) ning teine vektor (ülal ds) võib olla selles väljas liikuva asja kiirus ja suund. Nende vektorite korrutamisel saaks leida välja mõju vastava liikumisega objektile ning joonintegraalis on sellised väiksed näiteks välja mõju tugevust näitavad vektorkorrutised kokku liidetud, et summana võtta kokku välja mõju kogu selles vaatlusaluses teelõigus.

Ringluse valem. V on kiirus ühes punktis ringlevas massis. C on joonintegraal ringjast suletud ringist ümber mille käib ringlus. Lõputult lühikest lõiku C sees, mida vool läbib tähistatakse dl'ga.

Pisiosad ringlusest on leitavad kiiruse ja teelõigu vektorkorrutistena. Koosinus on nurk nende vektorite vahel ja kui need on täpselt samasuunalised (nurk 0 kraadi), siis on cos väärtus 1 aga 90 kraadise suunaerinevuse korral on cos väärtus 0. Ringluses liidetakse need pisitehted kokku ja kuigi dl puhul võidakse võtta täisring ei tähenda see, et ringlev mass püsiks sellel rajal. Ringluse väärtus tuleb lihtsalt seda suurem mida täpsemalt see ringlus ringi käib ja ka mida kiiremini see liigub. Kui C ringist käib vool otse läbi (C asub koses või keset hoovust), siis kokkuvõtteks ei tule ringlusel nullist erinevat väärtust (ühes ringi osas võib vool kattuda ringijupi sihiga kuid teises rõnga osas oleks need vastassuunalised ehk 180 kraadi all ja cos(180)=-1, mistõttu teine pool ringi tuleks negatiivse väärtusega ja nulliks kogusumma).