Saturday, August 20, 2011

Tuletised

Muutuse sümbol delta on ka tuletistes väljendatud sama tähendusega kas suure (Δ) või väikese tähega (δ) või lihtsalt d'ga. Väiketähega tähistatakse tavaliselt osatuletisi.

Funktsiooni f\, tuletis koordinaadil x on f'(x)\, ning edasi tuletamisel on korrapära:
f'(x)\, - funktsiooni f\, tuletis kohal x\,
f''(x)\, - teist järku tuletis
f'''(x)\, - kolmandat järku tuletis
f^{IV}(x)\, ehk f^{(4)}(x)\, - neljandat järku tuletis
f^{(n)}(x)\, - n-ndat järku tuletis
Füüsikas on levinud ka ülapunktiga tähistus.
\dot{y} = f'(t)
\ddot{y} = f''(t)
Seose y=f(x)\, puhul on selle tuletise väärtus kohas x tähistusega \frac{dy}{dx}.
Kõrgema järgu f^{(n)}(x)\, tuletistel on kirjaviis sellisel juhul \frac{d^ny}{dx^n}.

Tuletades \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} on y muutus leitav \Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)\,. Lim alune nool nulli suunas tähistab nullile lähedast aga mitte nullist muutuse suurust.
Kui graafiku valem on y\! = x\!^2, siis \Delta y\! = (x\! + \Delta x\!)^2 - x\!^2 ja pikalt tuletades on arvutuskäik

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2x+\Delta x=2x


Kui tuletis graafiku mingist punktist on positiivne, siis graafik tõuseb ning negatiivse väärtuse korral see langeb. Kui tuletis on 0, siis on tegu graafikul selles kohas vähemalt kohaliku maksimum- või miinimumkõrgusega.
Tuletades graafikut, mis kirjeldab muutuvat kiirust ajas seosega x = t2 + 3 saab esimese tuletamisega \dot{x} = 2t. Teise tuletamisega saab kiirenduse \dot{v} = 2 ning kuna seda ei saa edasi tuletada nullist erineva vastuse saamiseks, siis saab järeldada, et kiirendus on püsiv.

Tuletada saab kergesti selliseid valemeid, mis sarnanevad eelmise kiiruse funktsiooniga.
f(x) = x^r,\,
f'(x) = rx^{r-1},\,
kui mingit tundmatut väärtust nagu x või muud tähestikku tähte astendatakse, siis tuletises korrutatakse see tundmatu astme numbriga ja vähendatakse astet ühe võrra. Omaette olevad numbrid kaotatakse tuletamisel ära sarnaselt eelkirjeldatud kiiruse leidmisega.
f(x) = x1 / 4
f'(x) = (1/4)x^{-3/4},\,
astme lahutamist ühega tehakse isegi siis kui aste ei olnud täisarvuline ja see läheks negatiivseks.
Astendades tehet y = ƒ(x) saab seda väljendada
\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),\;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d}{dx}f(x),
mis on samatähenduslikud ning edasise n kordse astendamisega saab kirjapildid
\frac{d^ny}{dx^n}, \quad\frac{d^n f}{dx^n}(x), \;\;\mathrm{or}\;\; \frac{d^n}{dx^n}f(x)
mida võib teise astendamisega väljendada näiteks alloleva kirjapildiga
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).
Tuletamisega on tavaliselt vaja leida tõus m (pildil punane joon) vastavas punktis.
m={\mbox{change in } y \over \mbox{change in } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}
mis eeldab tihti y ja x telje muutuse leidmist kuigi kui teada tõusu nurka, siis saab sama väärtuse leides selle nurga tangentsi.
Lihtsama funktsiooni ƒ(x) = x² puhul võib tõusu leida näiteks punktis x=3 (y=9 selles punktis kuna 3 ruudus on 9). Tõus ise on 6, sest tuletamisel saab 2x ning 2x3=6 ning saab järeldada, et punktis (3, 9) oli tõus 6.
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Tõusu saab leida ka jagades muutuse y koordinaatide vahel muutusega x koordinaatide vahel. Proportsionaalselt suurem muutus y väärtuses annab järsema tõusu.
Näiteid tuletamisreeglitest teiste funktsioonide korral:
\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0

\frac{d}{dx}e^x = e^x

\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x

\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).

\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x).

Vektorite tuletamisest:
\mathbf{r}(t) = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}
Vektorid on tähistatud tumedalt ja t on muutujaks olev aeg.
\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} = f'(t)\mathbf{i} + g'(t)\mathbf{j} + h'(t)\mathbf{k}.
Tuletamisel leitakse eri koordinaatide vektorite tuletised ühise selles olukorras püsiva väärtuse korral nagu ülal näites t. Sarnaselt tavatuletamisega saab vektorite tuletamisel kirjeldada liikumist. Kui r(t) näitas ajast sõltuvat asukohta, siis esimene tuletis annab hetkekiirust kirjeldava vektori ja teine tuletamine annab kiirendust kirjeldava vektori.

Tuletamisel pole mõne tehte puhul maksimaalset võimalikku tuletamise järku.
\vec s =\frac {d \vec j} {dt}=\frac {d^2 \vec a} {dt^2}=\frac {d^3 \vec v} {dt^3}=\frac {d^4 \vec r} {dt^4}
Ka liikumise puhul saab jätkata peaaegu piiramatult tuletamist kuigi mingist piirist kaotab see praktilisuse ja/või jõuatakse nullini. Ülalnäites on vektorid seotud ajaga. Esimese tuletamisega saadakse kiirus ühikuga läbitud vahemaa jagatud aeg. Teist järku tuletis annab kiirenduse ühikuga muutus kiiruses jagatud ajaühik ruudus sarnaselt kiirenduse tavalise kirjapildiga. Kolmanda järguga leiab kui ruttu muutub kiirenduse suurus ajas. Neljanda järguga leiab kiirenduse muutumise enda muutumise kiiruse ajas. Niimoodi võib ka miljon järku edasi minna kui algne liikumist kirjeldavas funktsioonis oli näiteks mingi muutuja pandud astmesse miljon.
Samas võib tuletada ka teisi füüsikalisi suuruseid näitavaid arvusid. Kui näiteks x teljeks panna mingi suvaline distants, siis y teljega saab kirjeldada selles kohas olevat temperatuuri, rõhku, viskoossust, umbkaudset osakeste hulka, elektri- või magnetvälja intentsiivsust jne. Esimene tuletamine annaks kiiruse millega nende hulk või suurus muutub. Teist järku tuletamisega saab leida kiirendusega analoogselt kui kiiresti see eelnimetatud kiirus muutub. Elektromagnetväljad ja paljud teised suurused muutuvad kaugusega eksponentsiaalselt seosega vähemalt kaugus ruudus mistõttu nendega saaks vähemalt teist järku tuletise leida.

Mitme muutujaga funktsioonides, näiteks sisaldades korraga x ja y, saab leida valemi osatuletise.
f(x,y) = f_x(y) = x^2 + xy + y^2.\,
Valides ülemises valemis x väärtuseks a saab:
f_a(y) = a^2 + ay + y^2.\,
f_a'(y) = a + 2y.\,
kui a asemel oleks näiteks olla 5, siis saaks 5y tuletamisel 5 ja 5 ruudus kaoks ära, sest tuletamisel kaotatakse ka astmes teadaolevad arvud ära.
Valides ühe arvulise väärtuse jääb see see püsivaks ning teine tundmatu väärtus võib muutuda.
\frac{\part f}{\part y}(x,y) = x + 2y.
Tuletise järgi tehtud graafik muutuks y väärtusest sõltuvalt ning eelneva näitega leiab f osatuletise y suhtes.
Osatuletise ümaramat muutuse sümbolit nimetatakse ka del'iks.
Leides paljude muutujatega (näiteks temperatuure tähistavad suurused) funktsiooni ƒ(x1,...xn) osatuletised ∂ƒ/∂x saab seda väljendada väärtusega a valemis
\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).
Saadud vektor kirjeldab gradienti (muutumise hulka pikkusühiku kohta) punktis a.

Laplace'i operaator ja nabla operaator


Ühikvektorid on "mütsikesega" vektorid, mis on alati pikkusega 1 vastavas vektorruumis.

Nabla operaatorit (sümboliga \nabla ) või ka lihtsalt nablat kasutatakse tavaliselt 3D ruumis olevate vektorite kirjeldamiseks ning ühe osana on iga koordinaadi osatuletis läbi korrutatud ühikvektori suurusega. Sellega tähistatakse muuhulgas pöörlemist või divergentsust, mis kirjeldab vektorväljas millegi väljumist või neeldumist vastavas suunas.
\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}
Sümbol üksi on tihti kasutusel kirjapildi lühendamiseks. Üleval on näide nabla tähendusest 3D ruumis koordinaatidega x, y ja z (vahel vastavalt i, j ja k).
\nabla = \sum_{i=1}^n \hat e_i {\partial \over \partial x_i}
Sama tähendusega on see ka selle kirjapildiga kui ruum on n mõõtmeline ja koordinaadid on (x1,..xn). Sakiline kolme moodi sümbol tähistab seda, et sellest parempoole jääva struktuuriga valemites tuleb pärast erinevate täisarvuliste i väärtuste läbikasutamist kuni väärtuseni n tulemused kokku liita alustades x1'st ja selle ühikvektori e1'st ning jätkates täisarvuliste i väärtustega kuni dimensioonini xn ühikvektoriga en. Kolmemõõtmelise ruumi puhul saaks ka viimase illustratsiooni järgi 3 kokku liidetavat väärtust.
Jagamismärgi alla jääv koordinaadi sümbol näitab millise väärtuse suhtes võetakse osatuletis mistõttu näiteks del x'ga jagatud kohas oli x'l ühtlane väärtus ja leiti teise kahe väärtused.
Gradienti ehk suunda ruumis oleva suurima suuruse suunas leiab nabla abil valemiga
f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)

\nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).
saadud vektor on alati suunaga suurima f väärtuse suunas ja selle pikkus on võrdne maksimaalse kasvu kiirusega selles punktis sarnaselt tavalise tuletisega.

Divergentsus näitab vektorväljas kui palju voolab midagi ruumiosast välja või ruumiosa sisse näidates voolu suunda vektori suunaga ja selle intentsiivsust pikkusega. Muuhulgas kasutatakse seda õhu liikumise kirjeldamiseks. Valemis leitakse vektorite skalaarikorrutised.
F = U i + V j + W k
\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial U}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial y} +\frac{\partial W}{\partial z }.
Näide vektorvälja F järgi divergentsuse leidmisest. Kui väärtus tuleb igas punktis null, siis pole erinevusi vastava nähtuse tiheduses. Positiivse divergentsusega alas on suunad väljapoole ja divergentsus on positiivne. Sissevoolualad on negatiivsed ning nende suunas olevate vektorsuundadega.

Pöörlemise (rootori) leidmisel on valem pikem ning sisuliselt leitakse vektorite ristkorrutis.
\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}
Valemist on näha, et ühe ühikvektori kõrval sulgudes olevad koordinaadid ei ole samal teljel nagu ühikvektor ise. x teljele vastava i suurus korrutatakse läbi y ja z koordinaatides saadud väärtustega. Saadud vektor on pöörlemistelje orientatsiooniga ning parema käe reeglile omase suunaga. Pöörlemiskiirus on pool pöörlusvektori pikkusest. Selle väärtus on null vaba keerise puhul kuid suurus on nullist erinev sellise pöörluse korral, kus kiirus kasvab distantsiga keskosast.
\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.
Näide ülemise valemiga saadud vektorväljast.
{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}
Arvestades parema käe reeglit peaks pöörlusvektori telg minema risti pildi sisse ning negatiivne z väärtus on sellega kooskõlas. Valemis on x ja y väärtused nullis aga kuna algvalemis polnud z olemas ning sulgude vahel oleks x ja y arvutamisel pidanud arvestama z sõltuvate väärtustega, mis võisid sulgude sisse jääva ära nullida.


\Delta = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2\over \partial x_i^2},
Nablaga võrreldes tagurpidi sümboliga on Laplace'i operaator, mis tähistab nabla operaatorist teist järku tuletise võtmist. All näide kahe muutujaga Laplace'i operaatorist.
\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
See sümbol on sama kirjapildiga nagu muutuse sümbol delta kuid tähendus on teine. Osatuletise sümbolite olemasolu peaks selgemaks tegema kumma tähendusega on valemis olev selline kolmnurk.
Laplace'i operaator on leiab sarnaselt teiste teist järku tuletistele muutuse kiirust mistõttu seda sümbolit leiab tihti valemites, mis kirjeldavad soojuse, lainete ja keskkonda lisatud ainete levimist ning magnetväljade, gravitatsiooni ja teiste selliste kaugusest eksponentsiaalselt sõltuvaid nähtuseid.

Posted by at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)